Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6

то блок A11 размера определяет матрицу оборотную соответственному блоку матрицы A в то время как A22 есть матрица оборотная соответственному блоку матрицы A-1 Все это довольно легко установить если положить в первых Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 уравнениях (1) и соответственно в последних уравнениях (4) ^ Способ Жордана-Гаусса
Если при реализации варианта с частичным выбором ведущего элемента позволить номеру строчки пробегать значения от до и от до  то все элементы -го столбца Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 кроме диагонального элемента становятся нулями Заместо верхней треугольной матрицы получают сейчас в конечном итоге единичную матрицу:



Тем получение решения значительно упрощается:  Все же в совокупы этот способ просит больше операций чем Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 способ Гаусса


^ Способ ортогонализации строк
Пусть дана система линейных уравнений Ax=b (det A  0). Преобразуем строчки системы так чтоб матрица A перебежала в матрицу R с ортогональными строчками При всем этом вектор b перейдет в Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 вектор . В итоге получим эквивалентную систему Rx=, откуда x=R-1 . Чтоб не вычислять оборотную матрицу R-1, воспользуемся свойством ортогональных матриц: R-1=RT(RRT)-1, где RRT=D; D - диагональная матрица Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 Потому x=RTD-1.

Матрица D-1 оборотная диагональной находится просто:

D =  D-1 =

Как следует, решение системы сводится в главном к нахождению матрицы R, которая может быть получена последующим образом Из каждой -й строчки системы вычтем первую Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 строчку умноженную на  Получим матрицу A(1) Множители должны быть такими чтоб 1-ая строчка матрицы A(1) была ортогональна всем остальным строчкам те




Над матрицей A(1) проделываем аналогичную операцию: из Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 каждой ее -й строчки вычтем вторую строчку A(1)  умноженную на 



Получаем матрицу A(2) и тд пока не получится матрица A(n-1) все строчки которой попарно ортогональны, т.е. матрицу R.

Систему Ax=b можно Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 решить и по-другому Пусть она приведена к виду Rx= как было описано выше Умножим каждое уравнение системы на

 

Получим x= где - ортогональная матрица Так как у ортогональных матриц транспонированная матрица Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 совпадает с оборотной то x=

^ Способ решения системы с ленточными матрицами
Если A – положительно определенная ленточная матрица такая что при  то существует действительная невырожденная треугольная матрица L допускающая представление начальной матрицы в виде Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 LLT=A где  если 

Элементы матрицы L можно найти по строчкам приравнивая элементы в обеих частях последнего уравнения Если принять что все элементы при и равны нулю то элементы -й строчки удовлетворяют соотношениям

 ;



Решение Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 системы уравнений Ax=b осуществляется в два шага:

Ly=b; LTx=y 

Беря во внимание ширину ленточной матрицы получаем последующий метод для решения системы уравнений:


    (5)

^ Способ Холецкого
Дана СЛАУ Ax=b где Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 A – симметрическая положительно определенная матрица для которой справедливо разложение A=LDLT где L – нижняя треугольная матрица с единичной диагональю; D - положительно определенная диагональная матрица

Такое разложение может быть выполнено за шагов при Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 этом на -м шаге определяют -ю строчку матрицы L и -й элемент матрицы D Выражения для нахождения этих частей имеют вид

 ; 

После того как матрицы L и D будут найдены заменим Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 начальную систему 2-мя эквивалентными ей системами Ly=b, LTx=D-1y.

Эти уравнения можно решить поочередно вычисляя величины

 ;  


Способ LU-разложения

В современных программках реализующих способ Гаусса вычисления разбивают на два главных шага 1-ый Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 – вычисление LU-разложения матрицы системы 2-ой – обработка правых частей и вычисление решения

Для проведения первого шага не нужна информация о правой части СЛАУ и потому он может быть выполнен независимо Это шаг Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 подготовительной подготовки к резвому вычислению решения Конкретно для получения LU-разложения делается основная масса вычислений ( арифметических операций)

Итак в итоге выполнения первого шага СЛАУ ^ Ax=b будет преобразована к виду LUx=b

На Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 втором шаге: 1) конвертируют b по формулам прямого хода те СЛАУ конвертируют к виду Ux=L-1b 2) при помощи оборотной подстановки (оборотный ход) решают полученную систему Для конкретного вычисления решения x на втором Программа и задания по вычислительным методам практикум к лабораторным работам - страница 6 шаге требуется арифметических операций
^ Способ квадратного корня

programma-iv-mezhdunarodnoj-nauchnoj-konferencii-petrozavodsk-3-8-sentyabrya-2012-goda-konferenciya-provoditsya-pri-finansovoj-podderzhke.html
programma-ix-mezhdunarodnogo-festivalya-kino-i-teleprogramm-dlya-semejnogo-prosmotra-im-vleontevoj-ot-vsej-dushi.html
programma-iz-detstva-v-otrochestvo.html